Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

№ 1 Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение  имеет 5 корней, , .

Этим корням соответствует пять функций, составляющих фундаментальную систему решений:

, , , , .

Общее решение имеет вид:

.

№ 2 Найти общие решения уравнений

, , , , , .

№ 3 Найти общее решение уравнений

, , , .

Линейные однородные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами

Если коэффициенты линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка  непрерывные функции, и известно одно из его решений , то его второе решение можно найти по формуле Лиувилля-Остроградского .

№ 4 Найти общее решение дифференциального уравнения , проверив, что одно его частное решение имеет вид .

Разделим обе части данного уравнения на : .

Здесь коэффициенты ,  непрерывны при , следовательно, решение дифференциального уравнения существует в области .

Найдем второе частное решение по формуле Лиувилля-Остроградского.

. Произвольную постоянную при вычислении неопределенного интеграла можно не писать, так как нас интересует лишь одно частное решение.

.

Проверим полученную систему решений на линейную независимость. Вычислим определитель Вронского:

 при , следовательно, решения  и  - линейно независимы.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

№ 5 Решить уравнение , зная его частное решение.

№ 6 Уравнение  имеет решение . Найти решения уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , .

Домашнее задание

Решить задания № 3 - 6 без правой части, т.е. соответствующие однородные уравнения.